. asdf: grupowanie wielomianów, macie jakieś zadania?

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/3414.html

Piotr: uwazaj bo ICSP takie Ci przywali, ze sie nie pozbierasz

ICSP: hi hi hi

asdf: @Eta Dzięki ale, jak patrzałem na dział równania wielomianowe to tam nic ciekawego @Piotr pewnie cos dowali ze wzorem cardano i licz pan...

Eta: Cardano

Piotr: ICSP daj cos ladnego koledze

asdf: litości

Mateusz: Moze yc zadanie z wykaz,udowodnij

ICSP: kolega na pewno się ucieszy (5√5 + 3√3)x³ + (15√2 + 9√7)x² + (6√5 + 21√3)x + 2√2 + 7√7. = 0

Mateusz: "byc"

Piotr: no to do dziela asdf powodzenia..

ICSP: Takie proste na około minutę. Grupowanie w tym przykładzie jest oczywiste.

Piotr: @asdf nie ogladasz meczu? z tego co pamietam kibicujesz barcelonie

ICSP: Pewnie nie ogląda Wpisuje wielomian do wolframa xD

Piotr:

asdf: do wolframa na pewno nie wpiszę pobawię się tym trochę, ale chyba nie dzisiaj, meczyk leci, barca przygrywa, a do liczenia muszą być warunki i spokojna głowa Do jutra @ICSP nie masz litości... @Mateusz Możesz dać @Piotr Nom, za barceloną, ale nie kojarzę chyba Ciebie (przepraszam − może nick zmieniłeś?)

Mila: Dla ICSP. Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do f(x) =x+√x

Mila: Dla ICSP, temat, jak wyżej: 1) y=x²−2x (x≥1) 2) y=1−x² (x≥0) 3) y=sin2x . ustal dziedzinę.

Piotr: nom zmienilem

rumpek: to jeszcze jeden przykład ode mnie

	1		x − 1
4) y =		sin
	2		x + 1

ICSP: f(x) = x + √x przy x ≥ 0 czyli y = x + √x mam teraz wyznaczyć z tego x ?

Piotr: no chyba do tego sprowadza sie wyznaczenie funkcji odwrotnej

Mila: Tak, moje przykłady nie są zbyt trudne.Z pierwiastkiem jest najtrudniejszy, zacznij od funkcji kwadratowej, to Ci nasunie pomysł na rozwiązanie.

ICSP: MIla do przykładu : y = x² − 2x odp to x = 1 + √1 + y²

ICSP: Widziałaś tamto

ICSP: nie xD Dzięki za podpowiedź

Mila: Dobranoc

ICSP: a teraz jak powiedziałaś z tą postacią kanoniczną to ten kwadrat powinien tam być ?

Mila: x=√y+1+1 Nie zauważyłam kwadratu.

ICSP: y = 1 − x² ⇒ x² = 1 − y ⇒ x = √1−y ⇒ y≤ 1

ICSP: y = x² − 2x ⇒ y = (x−1)² − 1 ⇒ (x−1)² = y + 1 ⇒ x = √y+1 + 1

ICSP: y = x + √x ,x ≥ 0

	1		1		1		1
y = x + √x = x + √x +		−		= (√x +		)2 −
	4		4		2		4

	1		1
y = (√x +		)2 −
	2		4

	1		1
y +		= (√x +		)2
	4		2

	1		1
√x +		= √y +
	2		4

	1		1
√x = √y +		−
	4		2

	1		1		1		1		1
x = (√y +		−		)2 = y +		− √y +		+		=
	4		2		4		4		4

	1		1
y +		− √y +
	2		4

ICSP: y = sin2x arcsiny = arcsin sin2x arcsiny = 2x

	arcsiny
x =
	2

w ogóle to ma to sens to co teraz napisałem ?

ICSP:

	−π		π
D : x ∊ <		+kπ ;		+ kπ> gdzie k ∊ Z
	2		2

Mila: o::39 popraw dziedzinę ( tam po sinusem jest 2x). Kiedy istnieje funkcja odwrotna do f(x)? Jaka jest dziedzina funkcji odwrotnej?

rumpek:

	ex
5) f(x) = arcsin
	√1 + e2x

Mateusz: Ok zadanie dla asdf dotyczy ono tez w sumie grupowania: Wykaz ze dla kazdego x wartosc wielomianu P(x) jest liczbą całkowitą:

	1		1		11		1
P(x)=		x4+		x3+		x2+		x
	24		4		24		4

ICSP: Funkcja odwrotna istnieje wtedy kiedy funkcja którą chcemy odwrócić jest różnowartościowa. Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór wartości funkcji którą odwróciliśmy(mogę użyć słowa funkcja pierwotna czy nie )

	−π		π		π		π
D : x ∊ <		+		k ;		+		k > ; k ∊ Z
	4		2		4		2

asdf: można jakąś podpowiedź do zadania z wielomianem Mateusza? (ICSP spróbuję później zrobić)

Eta:

	1
P(x) =		*x(x+1)(x+2)(x+3)
	24

działaj dalej .... z komentarzem

rumpek: a ICSP nadal moich przykładów nie tknął

Eta: Nie ma w nich polecenia?

rumpek: 29 sie 23:24 − podpiąłem się pod zadanie Mili

Eta: Kto by to wiedział ? co "autor miał na myśli" ?

rumpek: http://i1.kwejk.pl/site_media/obrazki/2012/06/4b548090868085b97faedb6c42b9120c.jpg?1339446337

ICSP: rumpku spokojnie Twoje ruszę jak tylko skończę z przykładami Mili Pamiętam o tobie

Eta: Zadania dla asdf zad.1/ Oblicz sumę kwadratów wszystkich pierwiastków równania: x⁴−πx²+√2 zad.2/Uzasadnij,że równanie: x(x+1)(x+2)−2009³=0 nie ma pierwiastków całkowitych zad.3/ Wykaż,że dla każdego " x " całkowitego wartość wielomianu: W(x)= x⁵−5x³+4x jest liczbą podzielną przez 120

ICSP:

rumpek: (x − 1)(x − 2)x(x + 1)(x + 2)

Eta: rumpek

ICSP: Mogę któreś ? Proszę

Eta: Dla rumpek zad 4/ Podaj wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba: ³√2+³√3

Eta: Dla ICSP ( najprostszym sposobem! zad.5/ Dla jakich wartości parametru "k" wielomian: W(x)= 2x⁴−2x³−6x²+10x + k ma pierwiastek trzykrotny? Rozwiązać, a nie zgadywać !

Eta: Co tak długo? ( pewnie Wolfram ? .....

ICSP: Już jestem i robię Oglądałem serial

ICSP: W(x) = 2x⁴ −2x³ − 6x² + 10x + k −− posiada pierwiastek jednokrotny W'(x) = 8x³ − 6x² −12x + 10 −− posiada pierwiastek dwukrotny W''(x) = 24x² − 12x − 12 −− posiada pierwiastek trzykrotny

	1
W''(x) = 0 ⇒ 2x2 − x − 1 = 0 ⇒ x = −		v x = 1
	2

	1
ponieważ ani x = 1 ani x = −		nie jest pierwiastkiem pierwszej pochodnej to nie istnieje
	2

takie k takie aby wielomian W(x) miał pierwiastek trzykrotny. Pewnie gdzieś się pomyliłem i muszę to jeszcze raz przeliczyć.

Eta: x=1 −−− jest pierwiastkiem

Eta: W^'(1)= 8−6−12+10=

Eta: Hej rumpek śpisz ?

ICSP: dobra nic nie było na temat tej 1 xD tak wieć W(1) = 0 ⇒ 0 = 2 − 2 − 6 + 10 + k ⇒ k = −4

Eta:

Eta: Teraz zad. rumpka Podaj tylko odp:

ICSP: można też ułożyć układ równań : 3x₁ + x₄ = 1 3x₁² + 3x₁x₄ = −3 i rozwiązać go poprzez podstawienie : x₄ = 1 − 3x₁ 3x₁² + 3x₁(1 − 3x₁) = −3 3x₁² + 3x₁ − 9x₁² = −3

	1
2x12 −x1 − 1 = 0 ⇒ x1 = 1 v x1 = −
	2

	1
teraz pytanie dlaczego −		odpada Według mnie wynika to z wartości współczynnika a (a <
	2

16) ale poczekam na komentarz [P{Ety]]

Mateusz: Eta juz ci to rozwiązała własciwie jakby nie mozna było dac takiej podpowiedzi

	1
P(x)=		x(x3+6x2+11x+6)
	24

ICSP: yyy to zadanie jest rumpka nie moje xD

rumpek: no ładnie jak odchodzę od laptopa to zadania wrzucają

rumpek: Jak się nie pomyliłem to w tym zadaniu dla mnie wyjdzie: W(x) = x⁹ − 15x⁶ − 87x³ − 125 możliwy błąd jest w znakach lub współczynnikach

Eta: dla rumpek

ICSP: rumpek podziel się rozwiązaniem

asdf: Dziękuję za zadania Eto , jak czas pozwoli postaram się je rozwiązać i skończyć z zadaniem "uzasadnij, że wielomian P(x)...". Zadane ICSP chyba sobie odpuszczę (nie mam jeszcze takiej wiedzy) Dziękuję raz jeszcze i dobranoc wszystkim

asdf: @Mateusz E tam taka podpowiedź jak Twoja to nie podpowiedź Tylko jak dojść do rozwiązania Ety Postaram się jutro to ogarnąć W razie jak nie będę wiedzieć to napiszę A teraz meczyk i spać. Cześć

ICSP: Mój wielomian wcale nie jest taki trudny Na pewno łatwiejszy od zadania Ety dla rumpka

Mateusz: Ok podpowiem tw Bezouta powalczysz jutro

ICSP: a ja nadal czekam na odpowiedź Mili

Mila: Nie mogę znaleźć.Szukam. Kilka razy tu byłam i nie widzę Twoich rozwiązań ( to do ICSP).

Mila: Znalazłam. Wzory dobrze, dziedzina też. Jeszcze sprawdzę, bo pewnie wpadnie w nocy o północy Basia i postawi nas do kąta za niedopowiedzenia. dla ICSP ( z pierwiastkiem ładnie sobie poradziłeś.)

Mila: ICSP, po ustaleniu wzoru funkcji odwrotnej należy zamienić zmienne.

ICSP: mogę się spytać dlaczego trzeba zmienić zmienne ?

Mila: Ponieważ funkcję odwrotną rysujemy w układzie XOY. y = x² − 2x dana funkcja ma odwrotną dla x≥1 (wtedy y≥−1) odwrotna to: x=√y+1+1 (y jest teraz zmienną niezależną) zamiana zmiennych y=√x+1+1

ICSP: Już rozumiem Dziękuje bardzo

Mila: Dobranoc

Godzio: Nic mi nie zostawicie, ja tu zmęczony po pracy, nawet jednego zadanka nie ma do zrobienia

Mat: Rozwiązanie zadania dla Rumpka od Ety, polega na przyjęciu, że: istnieje x= 2¹/3 + 3¹/3 i systematyczne podnoszenie do potęgi trzeciej

Vax: To może takie zadanko Dany jest niestały wielomian W o współczynnikach całkowitych. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p takich, że istnieje taka liczba całkowita n, że p | W(n).

asdf: W(x) = x⁵ − 5x³ + 4x W(x) = x⁵ − x³ + 4x³ + 4x W(x) = x³(x² − 4) − x(x² − 4) W(x) = (x + 2)(x − 2)(x³ − x) W(x) = (x + 2)(x − 2)x(x² − 1) W(x) = (x + 2)(x − 2)x(x − 1)(x + 1) W(x) = (x − 2)(x − 1)x(x + 1)(x + 2) Jedna z liczb jest podzielna przez 5, a trzy kolejne liczby są podzielne przez 6 starczy taki komentarz? Bo chciałem to zrobić jakoś, że ,np. 1*2*3*4*5*6 Wiem, że nie można robić na samych liczbach, ale nie potrafię pisać jeszcze dobrych tych komentarzy

Maslanek: Vax, skoro wielomian o współczynnikach całkowitych, to ma on prawdopodobnie dzielniki postaci

	a0
		. Załóżmy, że an=1 (chociaż to nieistotne, zaś dla ułatwienia). Wtedy z pewnością
	an

znajdziemy takie a₀, które będzie liczbą pierwszą i taki wielomian, który będzie mógł zostać podzielony przez a₀. Mętlik, mętlikiem, ale działa

Maslanek: Jaka jest zależność między krotnościami pierwiastków, a pochodnymi?

asdf: x⁴ − πx² + √2 = 0 t = x², zał: t ≥ 0 t² − πt + √2 = 0 Δ = π² − 4√2 Δ > 0

	π − √π2 − 4√2
t1 =
	2

	π + √π2 − 4√2
t2 =
	2

Można tak teraz? t₁ + t₂ = x₁² + x₂² = π czy rozłożyć trzeba t₁ jako x² oraz (−x)²? Pierwszy raz robię dopiero podstawianie, dlatego takie pytania

Vax: Maslanek, nie do końca, nie możesz pisać ,,z pewnością znajdziemy takie a₀, że ..." gdyż dany wielomian mamy ustalony, czyli masz pokazać, że dla dowolnych całkowitych współczynników a_n , a_n−1 , ... , a₁ , a₀ wielomian W(x) = a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ spełnia tezę

ICSP: Eta odpowiesz na moje pytanie z dnia wczorajszego z godziny : 17:22

asdf: a odpowie ktoś na moje pytanie z dnia dzisiejszego z godziny: 11⁰⁴?

Eta: @ICSP sprawdź wszystkie warunki we wzorach Viete^'a ( jeden z nich nie zajdzie

ICSP: Chodzi o to że muszę dołożyć jeszcze trzecie równanie ?

Eta: t₁>0 i t₂>0 to równanie ma cztery rozwiązania x=√t₁ v x= − √t₁ v x= √t₂ v x= −√t₂

Eta: tak

ICSP: To tu był haczyk Dziękuje

asdf: czyli będą 4 przypadki?

ICSP:

	1		x−1
y =		sin
	2		x+1

	1		−2
y =		sin(1 +		)
	2		x+1

	1		−2
arcsiny =		arcsin(sin(1 +		))
	2		x+1

	1		−2
arcsiny =		(1 +		)
	2		x+1

	−2
1 +		= 2arcsiny
	x+1

−2
	= 2arcsiny − 1
x+1

1		2arcsiny − 1
	=
x+1		−2

	−2
x+1 =
	2arcsiny − 1

	−2
x =		− 1
	2arcsiny − 1

	−2
y =		− 1
	2arcsinx − 1

Czekam teraz na rumpka

ICSP: Skoro asdf nie chce mojego zadania to ktoś inny może rozwiązać

Mila: Sprawdź, 3 linijka?

ICSP:

	1
MIla nie rozumiem. arcsin tez powinienem nałożyć na
	2

Mila: Najpierw pomnóż przez 2 obie strony, potem arcsin2y=...

ICSP: czyli :

	−2
y =		− 1 − to jest funkcja odwrotna ?
	arcsin2x − 1

Mila: Tak, ale nie badałam w jakim przedziale f(x) jest różnowartościowa.

ICSP:

	ex
y = arcsin		to już ostatnia dana przez rumpka
	√1+e2x

	ex
y = arcsin
	√1+e2x

	ex
siny =
	√1 + e2x

	e2x
siny = √
	1 + e2x

	−1
siny = √1 +
	1 + e2x

	−1
1 +		= sin2y
	1 + e2x

−1
	= sin2y − 1
1 + e2x

1
	= 1 − sin2 y
1 + e2x

	1
1 + e2x =
	1 − sin2 y

	1
e2x =		− 1
	1 − sin2 y

	1
ln e2x = ln (		− 1 )
	1 − sin2 y

	1
2x = ln (		− 1 )
	1 − sin2 y

	1   ln ( − 1 )   1 − sin2 y
x =
	2

ICSP: P.S. Zostało jeszcze drugie zadanie od Ety dla asdf. Czekamy asdf

asdf: Wiem, właśnie wróciłem z meczu, jestem padnięty, ledwo chodzę, wezmę się za siebie i jutro to zrobię Dzisiaj nie dam rady − nie kontaktuję już P.S Zdałem egzamin zawodowy

kornelia : siemka wiedzie jak jest na studiach na kierunku matematyka? jak to wyglada? ktos z was jest?

ICSP: smutno mi się robi gdy widzę zadanie Ety bez rozwiązania

Eta:

ICSP: Mogę? Nie jestem pewny rozwiązania

Eta: Możesz, możesz

ICSP: Otóż mamy że : zad.2/Uzasadnij,że równanie: x(x+1)(x+2)−2009³=0 nie ma pierwiastków całkowitych W takim razie : x(x+1)(x+2) = 2009³ x(x+1)(x+2) = 2009 * 2009 * 2009 sprzeczność (jedynymi dzielnikami liczby 2009 są 7 oraz 287 )

Eta: x,x+1, x+2 −−− trzy kolejne liczby całkowite

ICSP: czyli w moim rozwiązaniu coś pominąłem?

asdf: kurde całkiem o tym zapomniałem Ale dałem du***